일차식과 수의 곱셈은 분배법칙을 핵심 원리로 하여 계산하며, 그 주요 개념과 방법은 다음과 같습니다.

1. 계산 원리: 분배법칙의 활용

* 정의: 어떤 수에 두 수의 합을 곱한 것은 어떤 수에 두 수를 각각 곱하여 더한 것과 결과가 같다는 법칙입니다.
* 기본 공식: 세 수 \(a, b, c\)에 대하여 다음이 성립합니다.
* \(a(b+c) = ab + ac\)
* \((a+b)c = ac + bc\)
* 방법: 분배법칙을 이용하여 일차식의 각 항에 수를 빠짐없이 곱하여 계산합니다.

2. 계산 단계

1. 괄호 풀기: 일차식 앞에 곱해진 수를 일차식 안의 모든 항에 각각 곱합니다.
2. 부호 결정: 수와 항을 곱할 때 부호의 결정 규칙(같은 부호는 \(+\), 다른 부호는 \(-\))을 정확히 적용합니다.
3. 식의 정리: 곱셈 기호를 생략하여 간단한 식의 형태로 나타냅니다.

3. 음수를 곱할 때의 주의사항

* 일차식에 음수를 곱하면 일차식 안의 각 항의 부호가 모두 바뀝니다.
* 괄호 앞에 마이너스(\(-\)) 기호만 있는 경우, 이는 \(-1\)이 곱해진 것으로 간주하여 괄호 안의 모든 항의 부호를 반대로 바꿉니다.
* 예: \(-(a+b) = -a-b\)
* 예: \(-(a-b) = -a+b\)

4. 주요 예시

* 양수를 곱하는 경우: \(4(2x+3) = 4 \times 2x + 4 \times 3 = 8x + 12\).
* 음수를 곱하는 경우: \(-3(x+1) = (-3) \times x + (-3) \times 1 = -3x - 3\).
* 괄호 뒤에 수가 있는 경우: \((4-y) \times (-3) = 4 \times (-3) + (-y) \times (-3) = -12 + 3y\).
이처럼 분배법칙은 괄호를 풀어 식을 전개하고 동류항끼리 모아 계산할 수 있도록 만드는 가장 기초적이면서 중요한 연산 법칙입니다.